相關與迴歸判讀 — r、r²、斜率單位的陷阱
這章讀完，你會：分得出相關係數 r、判定係數 r²，以及迴歸斜率 b 各自在說什麼。 你也會避開兩個國考高頻坑：把 r=0.7 說成解釋 70%，以及把「每月」斜率看成「每年」。
先想 30 秒再往下讀
血壓與年齡的相關 r=0.7。這代表年齡可以解釋血壓變異的 70% 嗎？如果迴歸式 Y=4+0.75X，X 是月齡，能不能說每增加 1 歲頭圍增加 0.75 cm？先把直覺答案放在心裡。
r 只量線性關聯的方向與強度
相關係數（correlation coefficient, r）介於 -1 到 +1，描述兩個連續變項的線性關聯。r>0 表同方向，r<0 表反方向；絕對值越接近 1，線性關聯越強。r=0 只代表沒有線性關係，仍可能存在曲線關係。
先抓語感：r 像是在看散佈圖的點有沒有排成一條斜線。它不告訴你 X 造成 Y，也不保證關係是直線以外都不存在；它只回答「線性方向和緊密程度」。
統計史 · Galton 的回歸平庸
Francis Galton 觀察父母與子女身高時發現，高個父親的兒子平均仍會往族群平均靠近，稱為「regression toward mediocrity」。regression 一詞由此進入統計語言。對考試而言，這提醒你：迴歸是在描述與預測平均趨勢，不是在宣告因果命令。
r² 才是解釋變異比例
判定係數 r²（coefficient of determination, R²）表示 Y 的變異中，有多少比例可由 X 解釋。r=0.7 時，r²=0.49，所以是 49% 的變異被解釋，不是 70%。
r = 0.7 r² = 0.7 × 0.7 = 0.49 解讀：Y 的變異有 49% 可由 X 解釋
考場最愛把 r 和 r²混在一起。r 是相關強度的原始刻度；r² 才能翻成「解釋多少變異」。看到「解釋百分比」，你的手要自動把 r 平方。
迴歸線：斜率 b 的單位跟著 X 走
線性迴歸（linear regression）常寫成 Y = a + bX。a 是截距（intercept），b 是斜率（slope）：X 每增加一個單位，Y 平均改變 b。若 X 的單位是月齡，b 就是每增加 1 個月；若要改成每年，必須乘以 12。
Y = 4 + 0.75X 若 X = 月齡：每增加 1 個月，Y 平均增加 0.75 cm 若要說每增加 1 歲：0.75 × 12 = 9 cm
斜率不是裸數字，它永遠帶單位。題幹把 X 寫成月、年、mmHg、mg/dL，b 的語言就跟著換。單位看錯，整句解讀就錯。
相關、迴歸、因果是三件事
相關（correlation）問兩個變項有沒有線性關聯；迴歸（regression）用 X 預測或建模 Y；因果（causation）需要研究設計、時序、偏差與干擾控制。r>0 時，簡單線性迴歸斜率 b 也會大於 0，但這仍不代表 X 造成 Y。
國考常把「有關」包裝成「導致」。你可以說年齡和血壓正相關、迴歸線斜率為正；但要說年齡以外沒有干擾、或某因素造成血壓變化，就已經跨到因果推論。
r vs r² vs b — 一眼分辨
| 看這個 | r | r² / R² | 斜率 b |
|---|---|---|---|
| 問的方向 | 線性關聯方向與強度 | Y 變異被 X 解釋的比例 | X 每增加一單位，Y 平均改變多少 |
| 範圍 | -1 到 +1 | 0 到 1 | 可正可負，帶單位 |
| 國考陷阱 | r=0 不代表沒有任何關係 | r=0.7 不是解釋 70% | 看清 X 是月、年或其他單位 |
| 題幹訊號 | 「相關係數」「有無關聯」 | 「解釋多少變異」 | 「Y=a+bX」「每增加一單位」 |
破題關鍵字
看到「r=0.7，解釋多少變異」→ 想 r²=0.49，也就是 49%；看到「Y=a+bX，b 的意義」→ 想 每增加一單位 X，Y 平均變化 b；看到「X 是月齡」→ 想 斜率是每月，不是每年；看到「有沒有關聯」→ 想 相關；看到「用年齡預測血壓」→ 想 迴歸；看到「相關所以因果」→ 想 跳太快。
自己畫線，看斜率、r²、離群值怎麼動
拖動資料點或迴歸線，注意斜率、r² 與殘差如何改變，也觀察離群值如何拉動結果。
你剛剛看到了什麼
最小平方法會找讓殘差平方和最小的線；資料點越貼近直線，r² 越高。離群值可能同時改變斜率與 r²，所以判讀迴歸永遠要先看散佈圖。
案例檔案 · r=0.7 不是 70%，每月不是每年
EXAM-BANK 指出兩個真題坑：107-2 醫二 Q41 中 r=0.7，解釋量應是 r²=49%；104-1 醫一 Q90 中 Y=4+0.75X，X 是月齡，所以 0.75 是每月，不是每歲。一句教訓：看到 r 要平方才談解釋量，看到斜率先讀 X 的單位。
大家都搞錯
三個坑連在一起：把 r 當解釋量、忽略斜率單位、看到高相關就講因果。這三個錯誤都不是計算很難，而是題幹語言沒讀細。
國考考過長這樣
30 人血壓與年齡 r=0.7，Y=a+bX；正確判讀包含 b 一定大於零。
逐句解碼：r=0.7 是正相關；簡單線性迴歸中，斜率 b 與 r 同號，所以 b>0。這題先考方向，不是先考顯著性。
同題中，說 r=0.7 代表解釋量 70% 是錯的；解釋量是 r²=49%。
逐句解碼：題幹字眼是「解釋多少變異」。只要看到解釋比例，就要把 r 平方：0.7×0.7=0.49。
Y=4+0.75X，Y 為頭圍 cm、X 為月齡；「每增 1 歲頭圍增 0.75 cm」是錯的。
逐句解碼：b=0.75 的單位是 cm/月，因為 X 是月齡。若要每年，應乘以 12；題目錯在把每月斜率讀成每年斜率。
你來當審稿人
某研究報告：「年齡與收縮壓相關 r=0.6，因此年齡解釋 60% 的血壓變異，也證明年齡造成血壓上升。迴歸式中 X 以月為單位，b=0.2，所以每歲增加 0.2 mmHg。」
我挑好毛病了，看解答
坑一：解釋量是 r²=0.36，也就是 36%，不是 60%。坑二：相關不等於因果，還要看設計、時序與干擾。坑三：X 以月為單位，b=0.2 是每月；每歲應是 0.2×12=2.4 mmHg。
還記得嗎 · CH 18
CH18 說兩個連續變項的關聯可用 Pearson r；CH19 接著教你判讀 r 和迴歸。10 秒小題：如果題目問「用年齡預測血壓」，是只停在相關，還是進入迴歸？
看答案
進入迴歸。相關問有沒有線性關聯；迴歸才是在建模或預測 Y。